Понятие оптимизации связано с поиском или созданием чего-то наилуч- шего в определенном смысле, наиболее полно удовлетворяющего определен- ным потребностям. Оптимизировать процесс функционирования системы – значит найти и установить такие условия (значения параметров процесса), при которых наиболее полно проявляется то или иное свойство системы; раз- работать оптимальный план полетов – создать такой план, который бы наиболее полно удовлетворял некоторым требованиям, например, заявлен- ным авиакомпаниями времени и количеству вылетов; спроектировать опти- мальный маршрут вылета в районе аэродрома – такой маршрут, который бы наиболее полно удовлетворял требованиям, например, безопасности и эко- номичности.
Найденные при оптимизации решения будут оптимальны именно в опре- деленном смысле. Чтобы указать, в каком же смысле искомое решение долж- но быть оптимально, при постановке задачи оптимизации вводится оптими- зируемый критерий (критерий оптимизации). Критерий (своего рода мерило оценки эффективности) отражает цели оптимизации и, как правило, может быть выражен количественно. Под критерием оптимизации можно понимать некоторый показатель функционирования системы, который выбирается главным при постановке задачи поиска наилучшего решения. В системе УВД
на разных этапах функционирования в качестве критериев могут выступать такие показатели, как пропускная способность зоны УВД или предельно до- пустимая интенсивность воздушного движения, ожидаемая частота потенци- ально конфликтных ситуаций, показатель сложности УВД в той или иной зоне, показатели отклонения от запланированной программы полета ВС в зоне ответственности диспетчера, число допущенных опасных сближений за некоторый период времени, средний возраст персонала службы движения и т.п.
Выбор показателя в качестве критерия оптимизации означает, что даль- нейшее решение должно, по возможности, максимизировать или минимизи- ровать (в зависимости от смысла задачи) значение этого показателя. На прак- тике бесконечно увеличивать (уменьшать) значение показателя не удается, т.к. присутствуют некоторые ограничения, которым искомое решение также должно удовлетворять. Например, повышение интенсивности воздушных по- токов ограничено, в частности, допустимой загруженностью диспетчера. Эта загруженность, которая выражается в виде коэффициента загруженности диспетчера, является тем ограничением, которому должно удовлетворять оп- тимальное решение. В качестве примера другого ограничения, которое появ- ляется при оптимизации организации УВД по критерию интенсивности, можно привести ограничение безопасности полетов, выражаемое в виде установленных норм эшелонирования между ВС – исходя из этого ограниче- ния невозможно бесконечно увеличивать интенсивность потока воздушных судов, т.к. это в итоге приведет к такому большому количеству ВС в зоне УВД, что они там просто не поместятся без нарушения интервалов. Еще один пример ограничений: установленные схемы и правила полетов в районе того или иного аэродрома, которые ограничивают возможные траектории полета ВС и таким образом могут выступать в качестве ограничений задачи оптими- зации УВД по критерию экономичности.
Сказанное выше позволяет выделить два основных элемента задачи опти- мизации: критерий оптимизации и ограничения. Поскольку при оптимизации речь идет, главным образом, о поиске решения, оптимальность которого была бы обоснована количественно, т.е. расчетами, то как критерий, так и ограни- чения должны быть такими, чтобы они могли выражаться количественно, кроме того, должны быть известны зависимости их значений от некоторого
набора параметров. Именно набор этих параметров, управляя значениями которых добиваются максимизации (минимизации) критерия, составляет тре- тий важный элемент задачи оптимизации.
Для возможности применения математических методов при решении за- дач оптимизации и, таким образом, количественного обоснования оптималь- ности решений, задача оптимизации формулируется в виде математической модели, т.е. формализуется. Это позволяет абстрагироваться от первоначаль- ного смысла задачи, от несущественных деталей, затрудняющих решение, и применить известные типовые методы и алгоритмы оптимизации.
Процесс постановки и решения задач оптимизации связан со следующим алгоритмом:
1) изучение системы – изучение особенностей функционирования, фак- торов, влияющих на ее работу, формулируются цели и выбирается критерий и ограничения;
2) описательное моделирование – устанавливаются и описываются сло- весно зависимости между параметрами процессов в системе с точки зрения критерия оптимизации и ограничений;
3) математическое моделирование — перевод описательной модели на формальный математический язык;
4) выбор или создание метода решения;
5) выбор или написание алгоритма и программы для ЭВМ;
6) решение на ЭВМ;
7) анализ полученных результатов – формальный, т.е. на правильность введения данных и работы программы; семантический, т.е. анализ смысла ре- зультатов, что должно показать пригодность использованных описательной и математической моделей и применимость полученных результатов на практике.
В общем виде задачу оптимизации можно сформулировать так: среди до- пустимых значений параметров процесса из набора X = (х1, х2, х3, …, xn) найти такие, при которых критерий I достигает своего наибольшего (наименьшего) значения. Обобщенная математическая модель запишется следующим образом:
I = f(X) max (min),
gj (X) ? (?, =) bj, j = 1, 2, 3, …, m,
где I – критерий оптимизации; f(X) – целевая функция, т. е. функция, ука- зывающая зависимость критерия оптимизации от значения параметров X; X = (х1, х2, х3, …, xn) – набор из n параметров процесса, которыми можно управлять при поиске (создании) оптимального решения, эти параметры про- цесса называют в теории оптимизации переменными процесса, а X — векто- ром состояния процесса, еще говорят, что х есть компоненты (координаты) вектора X; gj(Х) – функции-ограничения, число которых m; bj – некоторые по- стоянные величины, выражающие количественные значения ограничений, знаки (?, =) подразумевают, что в записи ограничения вместо «?» может быть «?» или «=».
Чаще при записи задачи критерий I опускается. Если значения перемен- ных вектора X таковы, что удовлетворяются условия ограничений задачи, то это есть вектор допустимых значений или допустимое решение задачи (но не обязательно оптимальное). Если при текущих значениях переменных X вы- полняются условия максимума (минимума) целевой функции и выполняются ограничения, то это есть вектор оптимальных значений параметров процесса, или оптимальное решение. Рациональное решение, т. е. разумное, является допустимым и лучшим среди множества других решений, однако не опти- мальным, т.е. не самым лучшим среди допустимых.
Вид задачи оптимизации и соответственно выбор того или иного мето- да нахождения оптимального решения зависят от вида целевой функции и вида функций-ограничений. Классифицируя задачи оптимизации, в самом общем виде можно выделить задачи оптимизации без ограничений или, точнее, с простыми ограничениями, которые легко проверить – ограниче- ния вида хi ? (?) bi и задачи с ограничениями. Задача с ограничениями называется еще задачей математического программирования. В зависимо- сти от того, к какому из названных классов относится конкретная задача, для ее решения применяются, соответственно, методы безусловной или методы условной оптимизации.
Задача математического программирования сама подразделяется на под- классы, в частности такие, как задача линейного программирования и задача нелинейного программирования, выделяются также задачи параметрического программирования, целочисленного, стохастического программирования и
др. Для всех их применяются те или иные, наиболее пригодные для данного класса задач, методы оптимизации.
