Имитационное моделирование заключается в создании модели проектируемого объекта и экспериментирования с ней при реальных условиях и ограничениях.
Имитация в САПР осуществляется путем создания модели проектируемого объекта и наблюдения за его функционированием до реального его изготовления с целью нахождения его рациональных параметров. Различают кинематическую и динамическую имитацию.
Кинематическая имитация осуществляется с целью проверки работоспособности объекта в процессе движения его элементов (проверка коллизий, например, столкновений). Примеры: контрольные сборки, работа движущегося механизма.
Динамическая имитация осуществляется путем исследования поведения объекта при изменении действующих на него нагрузок и температур. Определяются теплонапряженное состояние и деформации элементов объекта. Применение при таких расчетах аналитических моделей, полученных методами математической физики, применительно к сложным по конфигурации объектам, в настоящее время невозможно, так как при этом необходимо принимать ограничения, которые зачастую нарушают адекватность математической модели объекта. Поэтому для решения задач динамической имитации в САПР используют приближенные методы: метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР). Как показала практика, МКЭ является самым эффективным методом решения задач имитационного моделирования в САПР. В основе этого метода лежит представление объекта исследования в виде набора некоторых простых с геометрической точки зрения фигур, называемых конечными элементами, взаимодействующими между собой только в узлах. Расположенные определенным образом (в зависимости от конструкции объекта) и закрепленные в соответствии с граничными условиями конечные элементы, форма которых определяется особенностями моделируемого объекта, позволяют описать все многообразие механических конструкций и деталей.
Например, плоскую ферменную конструкцию можно смоделировать набором плоских стержневых фигур, рамную — набором объемных стержневых элементов, различного рода пластины и оболочки — множеством плоских треугольников или прямоугольников. Геометрически объемные тела удобно представлять в виде совокупности элементарных пирамид, параллелепипедов и призм.
Такое представление рассматриваемого объекта позволяет решать задачи расчета напряженного и деформированного состояний тела, устойчивости и динамики, нахождения частот и амплитуд собственных и вынужденных колебаний.
Программное обеспечение для решения задач методом МКЭ должно включать в себя следующие элементы: редактор разбивки на конечные элементы, ядро, непосредственно обеспечивающее решение, и визуализатор для демонстрации полученных результатов.
Рассмотрим физические основы этого метода на примере решения плоской задачи теории упругости — расчета напряженного состояния тонкой пластины произвольной формы. В качестве конечного элемента примем плоский элемент треугольной геометрической формы.
Рассмотрим конечный элемент, координаты узлов
которого равны и . После приложения внешней нагрузки тело деформируется, и каждая внутренняя точка этого элемента с координатами х,у занимает новое положение, перемещаясь в направлении координатных осей х и у соответственно на расстояния u(х,у) и v(x,y), причем в пределах одного конечного элемента эти перемещения представляются в виде линейных функций координат:
, (1)
или, в матричной форме,
, (2)
где ; ;
.
Необходимо отметить, что задание перемещений в виде линейных функций (1) обеспечивает сшивку этих функций на границах соседних элементов, так как линейность перемещений в узлах означает и их линейность везде вдоль границы элемента.Подставляя в (2) координаты узловых точек, получаем:
,
или
, (3)
где .
В системе уравнений (3) в качестве неизвестных можно рассматривать постоянные коэффициенты . Разрешая (3) относительно с помощью формул Крамера, имеем:
(4)
Здесь — определитель матрицы системы,численно равный площадиконечного элемента:
Заметим, что тот же самый результат (4) получается и другим способом: поскольку определитель матрицы отличен от нуля, то единственное решение системы (3) есть произведение обращенной матрицы системы и вектора Подстановка (4) в (3) приводит к выражению для определения поля перемещений произвольной точки данного конечного элемента:
(5)
где а остальные коэффициенты находятся путем циклической перестановки индексов 2 и 3. В матричной форме (5) переписывается как:
(6)
Функция , имеющая вид:
(7)
называется функцией формы.
Компоненты вектора — столбца относительной деформации связаны с перемещениями соотношениями:
С другой стороны, используя (6) и (7), можно написать
(8)
где — вектор узловых перемещений,
;
Перемещения связаны с соответствующими напряжениями законом Гука, который для случая плоского нагружения записывается в виде:
, (9)
где
Уравнение (9) с учетом (6) принимает следующий вид:
(10)
Воспользуемся выражением для потенциальной энергии деформации элементарного объема (13). Тогда эта энергия, с учетом (10), определится из очевидного уравнения:
. (11)
Выражение для объема в уравнении (11) представляет собой, в случае плоской задачи, произведение площади конечного элемента на его толщину.
Энергия деформации элемента объема может быть рассчитана иначе-какработа внешних сил. В качестве внешней нагрузки на элемент объема можно принять реакции приложенные к граням этого элемента, тогда:
(12)
Из уравнения (12) легко определить реакции, выполнив ряд очевидных сокращений, тогда
(13)
где
. (14)
Уравнение (13) представляет собой обычное уравнение равновесия, а матрица является квадратной размерности 6х6. Она называется матрицей жесткости конечного элемента,
Элементы этой матрицы получаются решением матричного уравнения (14):
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
.
Глобальная матрица жесткости может быть найдена поэлементным суммированием матриц жесткости отдельных элементов и имеет размерность , где N — общее количество узлов разбиения.
Левую часть уравнения равновесия (13) составляет вектор силовых факторов , компоненты которого в количестве равны силам, действующим в узлах. Учет распределенной нагрузки производится равномерным ее распределением по узлам, расположенным на границе.