Лекция №4.
1.Понятие непрерывности функции в точке.
2.Локальные свойства непрерывной функции.
3.Использование непрерывности при вычислении пределов.
Виды неопределенных выражений.
Понятие непрерывности функции в точке.
Когда мы вводили определения предела функции, мы не требовали, чтобы функция в точке x0 была определена.
Большой интерес представляет случай если функция в точке x0 определена и значения f (x0) совпадает со значением предела.
Опр. 1. Пусть функция f (x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности точки x0. Функция f (x) называется непрерывной в точки x0 , если 
Дадим это определение на языке «?-?».
Опр.2.
Введем обозначения: x -x0= ? x – приращение аргумента;
f (x)- f (x0)= ?y – приращение функции.
или
Опр.3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в самой точке x0 и в некоторой ее окрестности О(x0) и при этомб.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращение функции, т.е. 
.
Пример. Исходя из определения, убедится, что непрерывна при любом х.
Решение: Используем определение на «языке приращений».
Локальные свойства непрерывной функции.
Рассмотрим несколько основных теорем о непрерывных функциях.
Теорема1. Если функция y=f(x) непрерывная в точке x0, то она является ограниченной в некоторой окрестности О(x0).
Доказательство: 
Воспользуемся определением.
Мы должны показать, что
Запишем равносильные неравенства.
;
ограничена в
Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 , тогда их сумма, произведение и частное тоже будут непрерывны в точке x0 , причем 
непрерывна при g(x) ? 0.
Доказательство: Т.к. f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то 
,
Согласно определению 1, это означает непрерывность суммы. Непрерывность частного и произведения доказывается аналогично (самостоятельно).
Теорема 3. (о непрерывности сложной функции).
Пусть функции y=f(u) и u=g(x) определяют сложную функцию y=f(g(x)) на X. Если u=g(x) непрерывна в точке x0, а y=f(u)- непрерывна в точке u0, причем u0=g(x0), тогда сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке x0.
Доказательство:
Дадим аргументу x0 приращение ?x, такое чтобы 
. Тогда функция u=g(x) получит приращение ?u, функция y=f(u) — получит приращение ?y. Т.к. u=g(x) непрерывна в точке x0, тогда , а y=f(u) непрерывна в точке u0, 
. Отсюда следует, что 
, а это означает, что y=f(g(x)) непрерывна в точке x0.
Теорема 4. Каждая из простейших элементарных функций непрерывна в своей области определения.
Непрерывность каждой функции доказывается отдельно.
Например, докажем, что y=sin x непрерывна в точке x0.
?y=sin(x0+?x)-sin x0= 
;
| | |||
 | |||
=
y=sin x непрерывная в точке x0.
Следствие. Любая функция, полученная путем суперпозиции простейших элементарных функций, будет непрерывной.
Определение. Функция, непрерывная в каждой точке множества Х называется непрерывной на множестве Х.
Например, y=sin x непрерывна на х (-? ;+ ?), y=ln x, на x (0;+?).
Если функция определена на замкнутом промежутке, то для нее используется понятие односторонней непрерывности в точках x=a и x=b.
Опр. 4. Функция y=f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если 
и справа если 
.
Очевидно, что непрерывная в точке x0 функция будет в этой точке непрерывной слева и справа. 
3.Ипользование непрерывности при вычислении пределов. Виды неопределенных выражений.
Пусть требуется найти 
. Если f(x) непрерывна в точке х0, тогда 
, а это означает, что при нахождении предела в f(x) достаточно вместо х поставить х0.
Например: показать,что функция f(x)=ln(sinx)+cos22x непрерывна в точке х0=?/2;
Решение: 
при решении такого сорта задач можно использовать теоремы о пределах, а также свойства б.м. и б.б. величин.
Исключение составляют неопределенные выражения. Пусть:
, 
, 
, 
,
Тогда неопределенным при x x0 будут выражения:
, 
, ,
Для раскрытия неопределенных выражений каждого типа существует свои приемы.
Пример.1
Пример2. 
 | |||
 | |||
Пример3. Найти: 
