Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние. Приведем определение модуля числа через расстояние.
Определение.
Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.
Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.
Например, модуль числа 9 равен 9, так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой ?3,25находится от точки O на расстоянии 3,25, поэтому 
.
Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.
Определение.
Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b.
То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b), то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b. Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.
К началу страницы
Определение модуля числа через арифметический квадратный корень
Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень.
Определение.
Модуль числа a – это арифметический квадратный корень из квадрата числа a, то есть, 
.
Для примера вычислим модули чисел ?30 и на основании данного определения. Имеем 
. Аналогично вычисляем модуль двух третьих: 
.
Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число ?a – отрицательное. Тогда 
и 
, если же a=0, то 
.
К началу страницы
Свойства модуля
Модулю присущ ряд характерных результатов — свойства модуля. Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.
- Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом. В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a. Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.
- Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль. Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O, не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.
- Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть,
для любого числа a. Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны. - Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел, то есть,
. По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b, если , либо ?(a·b), если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b, , либо ?(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.
- Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b, то есть,
. Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению 
, то 
. В силу предыдущего свойства имеем 
. Осталось лишь воспользоваться равенством 
, которое справедливо в силу определения модуля числа. - Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства:
, a, b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника. Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a), B(b), C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС, у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности 
равен длине отрезка АВ, 
— длине отрезка АС, а 
— длине отрезка СВ. Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство . - Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде
. Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо bположить ?b, и принять c=0.
К началу страницы
