Основные логические элементы компьютера

Лабораторная работа Логические основы информатики

Цель и содержание:познакомиться с логическими основами информатики.

Теоретическое обоснование

Алгебра логики (булева алгебра) – это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Буля. Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Что же собой представляет алгебра логики? Во-первых, она изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. Во-вторых, булева алгебра делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

Что такое простое логическое высказывание? Это фразы типа «два больше одного», «5.8 является целым числом». В первом случае мы имеем истину, а во втором ложь. Алгебра логики не касается сути этих высказываний. Если кто-то решит, что высказывание «Земля квадратная» истинно, то алгебра логики это примет как факт. Дело в том, что булева алгебра занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений простых высказываний.

Таблицы истинности

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности, в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

Законы алгебры логики

Для логических величин обычно используются три операции:

1. Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, , ?.

2. Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

3. Логическое отрицание (НЕ) – not,.

Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики:

1. Законы рефлексивности
a ? a = a
a ? a = a

2. Законы коммутативности
a ? b = b ? a
a ? b = b ? a

3. Законы ассоциативности
(a ? b) ? c = a ? (b ? c)
(a ? b) ? c = a ? (b ? c)

4. Законы дистрибутивности
a ? (b ? c) = a ? b ? a ? c
a ? b ? c = (a ? b) ? (a ? c)

5. Закон отрицания отрицания
( a) = a

6. Законы де Моргана
(a ? b) = a ? b
(a ? b) = a ? b

7. Законы поглощения
a ? a ? b = a
a ? (a ? b) = a

Основные логические элементы компьютера

Основные логические элементы компьютера

Задания:

1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

а) “Солнце есть спутник Земли”;

б) “2+3*4”;

в) “сегодня отличная погода”;

г) “в романе Л.Н. Толстого “Война и мир” 3 432 536 слов”;

д) “Санкт-Петербург расположен на Неве”;

е) “музыка Баха слишком сложна”;

ж) “первая космическая скорость равна 7.8 км/сек”;

з) “железо — металл”;

и) “если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным”;

к) “если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный”.

2.Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие — ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.

3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний:

а) из арифметики; б) из физики;

в) из биологии; г) из информатики;

д) из геометрии; е) из жизни.

4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм:

а) “Эльбрус — высочайшая горная вершина Европы”;

б) “2=5”;

в) “10

г) “все натуральные числа целые”;

д) “через любые три точки на плоскости можно провести окружность”;

е) “теннисист Кафельников не проиграл финальную игру”;

ж) “мишень поражена первым выстрелом”;

з) “это утро ясное и теплое”;

и) “число n делится на 2 или на 3”;

к) “этот треугольник равнобедренный и прямоугольный”;

л) на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой.

5. Определите, какие из высказываний (высказывательных форм) в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:

а) “510”;

б) “109”, “10

в) “мишень поражена первым выстрелом”, “мишень поражена вторым выстрелом”;

г) “машина останавливалась у каждого из двух светофоров”, “машина не останавливалась у каждого из двух светофоров”,

д) “человечеству известны все планеты Солнечной системы”, “в Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству”;

е) “существуют белые слоны”, “все слоны серые”;

ж) “кит — млекопитающее”, “кит — рыба”;

з) “неверно, что точка А не лежит на прямой а”, “точка А лежит на прямой а”;

и) “прямая а параллельна прямой b”, “прямая a перпендикулярна прямой b”;

к) “этот треугольник равнобедренный и прямоугольный”, “этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный”.

6. Определите значения истинности высказываний:

а) “наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт”;

б) “наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт”;

в) “если целое число делится на 6, то оно делится на 3”;

г) “подобие треугольников является необходимым условием их равенства”;

д) “подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства”;

е) “треугольники подобны только в случае их равенства”;

ж) “треугольники равны только в случае их подобия”;

з) “равенство треугольников является достаточным условием их подобия”;

и) “для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны”;

к) “для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны”.

7. Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни:

а) если (а или (b и с)), то d;

б) если (не а и не b), то (с или d);

в) (а или b) тогда и только тогда, когда (с и не d).

8. Формализуйте следующий вывод: Если a и b истинны, то c — истинно. Но c — ложно: значит, a или b ложны.

9. Формализуйте предостережение, которое одна жительница древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической деятельностью: “Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить правду или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги”.

10. Формализуйте также ответ сына: “Если я буду говорить правду, то боги будут любить меня. Если я буду лгать, то люди будут любить меня. Но я должен говорить правду или лгать. Значит, меня будут любить боги или меня будут любить люди”.

11. Пусть a = “это утро ясное”, b = “это утро теплое”. Выразите следующие формулы на обычном языке:

Основные логические элементы компьютера

12. Из двух данных высказываний a и b постройте составное высказывание, которое было бы:

а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных выказывания ложны;

б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.

13. Из трех данных высказываний a, b, c постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.

14. Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:

а) д)
б) е)
в) ж)
г)

15. Постройте таблицы истинности для логических формул и упростите формулы, используя законы алгебры логики:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

16. Найдите функции проводимости следующих переключательных схем:

Основные логические элементы компьютера Основные логические элементы компьютера
Основные логические элементы компьютера Основные логические элементы компьютера

17. Проверьте равносильность следующих переключательных схем:

а) Основные логические элементы компьютера

б) Основные логические элементы компьютера

в) Основные логические элементы компьютера

г) Основные логические элементы компьютера

д) Основные логические элементы компьютера

18. Постройте переключательные схемы с заданными функциями проводимости:

Основные логические элементы компьютера

19. Упростите функции проводимости и постройте переключательные схемы, соответствующие упрощенным функциям:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

20. Упростите следующие переключательные схемы:

а) Основные логические элементы компьютера

б) Основные логические элементы компьютера

в) Основные логические элементы компьютера

г) Основные логические элементы компьютера

Содержание отчета и его форма:

Ознакомьтесь с теоретическим обоснованием. Выполните все описанные задания, письменно оформите отчет, который должен содержать:

— тему, цель лабораторной работы;

— содержать информацию о выполненных заданиях и выводы.

Контрольные вопросы и защита работы

Контрольные вопросы:

— Что такое простое логическое высказывание?

— Что описывают таблицы истинности?

— Как используются законы алгебры логики?

— Как используются основные логические элементы в устройствах компьютера?

Защита лабораторной работы включает:

— Выполнение работы на компьютере,

— ответы на контрольные вопросы,

— предоставление отчета.

Урок №27. Базовые логические элементы.


Похожие статьи.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: