Шаги построения математической модели.
1) Математическая постановка задачи:
- перечень исходных данных (что дано);
- перечень результатов (что требуется найти);
- ограничения на исходные данные.
2) Правила и законы, необходимые для получения результатов.
3) Метод решения – оптимальное использование имеющейся в распоряжении модели.
Главное свойство любой модели – упрощать изучаемые явления, сохраняя его существенные свойства.
Порядок построения математической модели:
1) Сформулировать предположения (выделить существенные свойства) и упрощения (отбросить несущественные). Например, при вычислении площади поверхности стола, продумайте являются ли важными такие характеристики как форма, цвет, материал; важно ли учитывать царапины или отбитые части или этим можно пренебречь?
2) Выделить исходные данные и результат с указанием ограничений.
3) Указать связь между исходными данными и результатами.
Пример.
Задача. Решить квадратное уравнение АХ2+ВХ+С=0
Итак, постановка этой задачи выглядит следующим образом:
Дано: А, В, С – коэффициенты уравнения.
Требуется: Х1, Х2 – корни уравнения.
Связь: При А?0 и D=В2-4АС?0
Х1= 
; Х2= 
, иначе действительных корней нет.
Таким образом, мы указали ограничения на значения исходных данных и на их соотношение – формулу, связывающую переменные, значения которых даны, с теми переменными, значения которых ищем. Следовательно, указывая такие связи при постановке задачи, мы даем метод решения квадратного уравнения.
Алгоритм
В основу программы для ПК кладется алгоритм решения данной задачи.
Понятие алгоритма используется давно. Сам термин произошел при переводе на европейские языки имени арабского математика 9 века Аль-Хорезми, которым были описаны правила (алгоритмы) выполнения основных арифметических действий десятичной системе счисления.
Если заглянуть в энциклопедический словарь, то алгоритм – это конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач.
У вас должно сложиться представление об алгоритме, как об определенном порядке действий, приводящих к достижению цели. В зависимости от характера занятий в своей повседневной жизни люди встречаются с различными практическими задачами: приготовление супа, проезд в общественном транспорте, решение квадратного уравнения, поиск слова в словаре и т.д. В подавляющем большинстве случаев успех любой деятельности зависит от степени продуманности действий и их последовательности, возможных вариантов.
Точного определения алгоритма не существует, так как это одно из базовых, основополагающих понятий науки, и, следовательно, неопределяемое. Но необходимо дать его описание.
Алгоритм – это понятная и точная система предписаний исполнителю для решения некоторого класса задач.
Согласно этому определению рецепты изготовления какого-либо лекарства или печенья являются алгоритмами. И правило безопасного перехода пешеходом проезжей части улицы – тоже алгоритм. По своему назначению алгоритмы могут быть как «бытовыми», так и вычислительными.
Исполнитель – это кто-то или что-то, понимающий и умеющий выполнять некоторый вполне определенный набор действий.
Он может быть формальным, т.е. не задумывается, не знает целей.
Приказ на выполнение одного действия из набора носит название предписания или команды.
Каждый алгоритм выполняется с учетом возможностей исполнителя — системы команд исполнителя (СКИ).
Слова «понятное предписание» означают, что команда может быть выполнена.
Итак, задача составления алгоритма не имеет смысла, если не известны и не учитываются возможности его исполнителя. Например, прочесть алгоритм решения системы линейных уравнений графическим методом сможет даже первоклассник, а выполнить его не сможет. С другой стороны малыш четырёх-пяти лет не сможет прочесть правила поведения за столом во время еды, но выполнять их сможет, если ему о них рассказать и показать.
Но исполнителем может быть не человек, а автомат. Например, автомат по продаже газированной воды работает согласно разработанному для него алгоритму. Алгоритмом описывается работа любого механического устройства.
В ряду всевозможных автоматов ПК является лишь частным примером исполнителя, чьё поведение реализуется на основе алгоритма
Более того, создание ПК оказало воздействие на развитие теории алгоритмов – одной из областей математики.
Важно понять, что такое класс задач? Согласно установленным правилам он характеризуется исходными данными. Например, ”сложить 2 числа” – это класс задач, а не одна задача, так как числа могут быть разные. В свою очередь “сложить числа” более широкий класс задач.
Класс задач – это множество задач одного типа.
Весь смысл программирования и состоит в том, чтобы составленный алгоритм служил для решения целого класса задач (любую из предложенного класса).
Задание. Написать по 3 примера класса задач
Свойства алгоритмов
1. Дискретность. Процесс решения задачи должен быть разбит на последовательность отдельных шагов. Структура алгоритма является прерывистой: только выполнив одну команду, исполнитель сможет приступить к выполнению следующей.
2. Понятность. Алгоритм нужно разрабатывать с ориентацией на определенного исполнителя с учетом его СКИ.
3. Детерминированность (однозначность). Алгоритм не должен содержать команды, смысл которых может восприниматься неоднозначно. (Например, робот будет поставлен в тупик командой “взять две-три ложки песка”: что значит две-три, какого песка?)
4. Конечность. Каждая команда в алгоритме должна быть полностью завершена и алгоритм должен прекратится за конечное число шагов.
5. Результативность. Смысл этого требования состоит в том, что при точном исполнении всех команд процесс решения задачи прекратиться за конечное число шагов и при этом должен быть получен определенный постановкой задачи результат.
6. Массовость. Предпочтительно разрабатывать алгоритмы, обеспечивающие решение всего класса задач данного типа. Например, если составляется алгоритм решения квадратного уравнения, он должен обеспечивать возможность решения для любых допустимых исходных значений коэффициентов.
