Определение 13.1.Последовательность называется сходящейся, если существует число такое, что в любой -окрестности числа находятся все элементы последовательности , начиная с некоторого номера (зависящего от ).
Задача 13.1.Вспомните старое определение предела. Справедлива ли запись: ?
Задача 13.2.Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Задача 13.3.Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена.
Задача 13.4.Докажите, что:
a) Сумма и разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и ;
b) Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и ;
Задача 13.5.Если последовательность сходится и имеет отличный от нуля предел , то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
Задача 13.6.Частное сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .
Задача 13.7.Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можносказать о сходимости последовательности ? Ответ обоснуйте.
Задача 13.8.Пусть последовательность расходится и последовательность расходится. Что можносказать о сходимости последовательности ? Ответ обоснуйте.
Задача 13.9.Пусть последовательность сходится, а последовательность — расходится. Что можносказать о сходимости последовательности ? Ответ обоснуйте.
Задача 13.10.Пусть последовательность расходится и последовательность расходится. Что можносказать о сходимости последовательности ? Ответ обоснуйте.
Задача 13.11.Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можносказать о сходимости последовательности ? Ответ обоснуйте.
Задача 13.12.Пусть последовательность расходится и последовательность расходится. Что можносказать о сходимости последовательности ? Ответ обоснуйте.
Задача 13.13.Докажите, что:
a) Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству ( ), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству ( );
b) Если элементы и сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы и удовлетворяют такому же неравенству: .
c) Если все элементы сходящейся последовательности находятся на сегменте , то и ее предел находится на этом сегменте.
Задача 13.14(Теорема о двух эвольвентах или теорема о двух милиционерах (полицейских))
Пусть и – сходящиеся последовательности, имеющие общий предел . Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам . Тогда последовательность сходится и имеет предел .
| a | b | a | b | c | ||||||||||||
1.Последовательность высказываний определяется следующим рекуррентным соотношением:
Высказывания , и заданы, причем и истинны, а ложно. Истинно или ложно ? Как выражается через , и ?
2.В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова необходимо, но недостаточно, достаточно, но не необходимо, необходимо и достаточно или не необходимо и недостаточно так, чтобы получилось истинное утверждение:
1) Для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, …, чтобы длины его диагоналей были равны.
2) Для того, чтобы x^2 — 5x + 6=0, …, чтобы x=3
3) Для того, чтобы сумма чётного числа натуральных чисел была чётным числом, …, чтобы каждое слагаемое было чётным.
4) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, …, чтобы она была ограниченной.
5) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, …, чтобы она была монотонной и ограниченной.
3. Есть два утверждения:
1) x y A(x,y);
2) y x A(x,y);
Следует ли 1ое из 2ого и 2ое из 1ого?
