Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств

Этот метод по сути является аналогом метода площадей на плоскости. Его суть заключается в следующем. Объем пирамиды вычисляется по формуле Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , где S – площадь основания, h – длина высоты, проведенной к основанию пирамиды. Длина высоты пирамиды – это расстояние от вершины пирамиды до плоскости ее основания. Поэтому для вычисления расстояния от точки до плоскости достаточно найти объем и площадь основания какой-либо пирамиды с вершиной в данной точке и основанием, принадлежащим данной плоскости.

Задача 5. Дан куб , К – середина ребра . Найдите угол и расстояние между прямыми СК и Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств (рис.15), если ребро куба равно 1.

Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств Решение.

1. . Вычислим косинус этого угла из треугольника : , Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств . Значит, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми СК и Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств равно расстоянию между прямой Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств и плоскостью , которая содержит прямую СК и параллельна прямой Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Вычислим расстояние от точки D до плоскости методом вспомогательного объем. Рассмотрим тетраэдр . Расстояние от точки D до плоскости равно высоте этого тетраэдра, проведенной из этой точки на основании тетраэдра. Значит, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Найдем объем тетраэдра. Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств = = Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств . Вычислим площадь треугольника . Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Таким образом, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств . Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми СК и Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств равно

Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств Для вычисления расстояния методом вспомогательного объема часто полезным оказывается использование формулы Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , где а и b – длины двух скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, d – расстояние между ними, — угол между прямыми, содержащими эти ребра. Докажем это.

Дано: — тетраэдр (рис.16), =а, ВС=b, , .

Доказать: Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Доказательство.

1. Достроим тетраэдр до параллелепипеда следующим образом: через каждое ребра тетраэдра проведем плоскость, параллельную скрещивающимуся ребру. Получим три пары параллельных плоскостей, образующих параллелепипед. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней полученного параллелепипеда (рис. 17).

2. Объем полученного параллелепипеда равен произведению площади параллелограмма и длины d высоты параллелепипеда, проведенной к плоскости этого параллелограмма, так как по условию расстояние между скрещивающимися прямыми SA и BC, равно d. Таким образом, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств 3. С другой стороны, , где h – расстояние между плоскостями и . Найдем объем тетраэдра : Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Значит, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

4. Так как параллелепипед состоит из данного тетраэдра и четырех равновеликих тетраэдров, объем каждого из которых равен объема параллелепипеда, то Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств . Значит, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Задача 6. Найти угол и расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, содержащими медианы SМ и BN двух боковых граней правильного тетраэдра с ребром а.

Решение.

Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств 1. В плоскости (рис.18) проведем прямую NT параллельно SM, . Заметим, что Т — середина СМ, так как NT – средняя линия треугольника . Таким образом, . По тереме косинусов из треугольника найдем косинус этого угла. Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств . Тогда Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , и Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

2. Для вычисления расстояния между прямыми SМ и BN вычислим объем тетраэдра SMBN двумя способами.

С одной стороны, , Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , так как у тетраэдров SMBC и NMBC – общее основание, а высоты относятся как 2:1. Следовательно, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

С другой стороны, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , где d – расстояние между SМ и BN , Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств . Тогда Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Следовательно, Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Таким образом, угол между прямыми SМ и BN равен Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств , а расстояние – Метод вспомогательного объема при вычислении расстояний в пространств .

Определение расстояния между двумя прямыми


Похожие статьи.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: