Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b — пределы интегрирования (см. рисунок). Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

Метод непосредственно использует замену определенного интеграла Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

интегральной суммой Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона . В качестве точек Bi может

выбираться любая точка в промежутке [xt^j;x(] . В зависимости от выбора этой точки различают методы левых, правых и центральных прямоугольников.

  1. ei — Xj_j — левая граница интервала — метод левых;
  2. с, =Xj — правая граница интервала — метод правых;
  3. Рч — -i—~—- . середина интервала — метод центральных

Обычно, когда рассматривают метод прямоугольников, разбивают [(i,h\ на п равных отрезков Axi = h — const .

В этом случае получаем следующие формулы для разных методов

Метод правых прямоугольников Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Метод левых прямоугольников Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке: Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке: Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

где Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на

отрезки одинаковой длины h: Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона где

Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Погрешность формулы трапеций: Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона , где Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Метод Симпсона

Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

.

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

где

Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Билет №56

Постановка задачи одномерной оптимизации. метод сканирования. метод деления пополам. метод золотого сечения

Постановка задачи одномерной оптимизации

Задача одномерной оптимизации определяется следующим образом:

  1. Допустимое множество — множество
  2. Целевую функцию — отображение f:
  3. Критерий поиска min, max

Метод сканирования

Метод заключается в последовательном переборе всех значений а х b с шагом ? (погрешность решения) с вычислением критерия оптимальности R в каждой точке. Путем выбора наибольшего из всех вычисленных значений R и находится решение задачи х*.

Достоинство метода в том, что можно найти глобальный максимум критерия, если R(х) — многоэкстремальная функция. К недостаткам данного метода относится значительное число повторных вычислений R(x), что в случае сложной функции R(x) требует существенных затрат времени.

Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

На практике можно реализовать одну из основных модификаций метода — последовательное уточнение решения, или сканирование с переменным шагом.

На первом этапе сканирование осуществляют с крупным шагом, затем отрезок, внутри которого получено наибольшее значение R(x), разбивается на более мелкие отрезки, ищется новый отрезок, внутри которого находится уточненное значение максимума. Он (новый отрезок) опять делится на более мелкие и т.д., до тех пор, пока величина

отрезка, содержащего максимальное значение R(x), не будет меньше заданной погрешности. Главный недостаток этого варианта метода — возможность пропуска острого глобального максимума R(x).

Метод деления пополам

Метод основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность к.

Идея метода состоит в делении исходного промежутка изоляции корня [xn, xk] пополам точкой хср=(хн+хк)/2 и вычислении значений функции на левом конце f(xср) и в середине f(xср).

Алгоритм метода (рис. 8.4):

  1. Определить новое приближение корня х в середине от
    резка [a,b|: x^a+b)/^.

2. Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

3. Проверить условие F(a)*F(x) то корень расположен на отрезке (а,х|. В этом случае необходи
мо точку b переместить в точку х (Ь=х). Если условие не выпол
нено, то корень расположен на отрезке [х,Ь]. В этом случае необ
ходимо точку а переместить в точку х (а=х).

4. Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам.
Алгоритм продолжить до тех пор, пока не будет выполнено усло
вие I F(x) I

Метод золотого сечения

Метод основан на делении текущего отрезка [а, Ь], где содержится искомый экстремум, на две неравные части, подчиняющиеся правилу золотого сечения, для определения следующего отрезка, содержащего максимум.

Золотое сечение определяется по правилу: отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части отрезка к меньшей. Ему удовлетворяют две точки c u d, расположенные симметрично относительно середины отрезка. Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Путем сравнения R(с) и R(d) определяют следующий отрезок, где содержится максимум. Если R(d) R(c), то в качестве следующего отрезка выбирается отрезок [с, b], в противном случае — отрезок [a, d].

Новый отрезок снова делится на неравные части по правилу золотого сечения. Следует отметить, что точка d является и точкой золотого сечения отрезка [с, Ь], т.е. Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Поэтому на каждой следующей итерации (кроме запуска метода на исходном отрезке) нужно вычислять только одно значение критерия оптимальности.

Существуют аналитические формулы для расчета новой точки на отрезке, где находится максимальное значение R(x), которую нетрудно получить: Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций,метод симпсона

Условие окончания поиска — величина отрезка, содержащего максимум, меньше заданной погрешности.

Метод обеспечивает более быструю сходимость к решению, чем многие другие методы, и применим, очевидно, только для одноэкстремаль-ных функций1.

Численное интегрирование. Метод Симпсона


Похожие статьи.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: