Случайные величины.
Функция и плотность распределения
Дискретные случайные величины.
Случайной называетсявеличина, которая случайным образом принимает в результате испытания одно, наперед не известное значение.
Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные значения, отличающиеся друг от друга на конечные числа. Случайные величины принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: X, Y, Z,…, а возможные значения дискретной случайной величины X принято обозначать x1, x2, …, xn
Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины xi и их вероятностями. Если вероятность события X=xi, состоящего в том, что случайная величина X приняла значение, равное xi, обозначить через =P(X=xi), то закон распределения дискретной случайной величины принято записывать в виде таблицы:
| … | ||||
| … |
Иногда рассматривают несколько случайных величин. Тогда между ними можно указать меру зависимости друг от друга. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Непрерывные случайные величины. Функция распределения.
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать возможные значения из некоторого промежутка числовой оси. Примерами непрерывных случайных величин могут служить вес животных данного вида, количество осадков в данной местности за определенный период времени.
Непрерывная случайная величина характеризуется законом распределения, который называется функцией распределения.
Интегральной функцией распределения (или просто функцией распределения) случайной величины X называется вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое меньше ее некоторого возможного значения x (т.е. вероятность события X
F(x)=P(X
Основные свойства функции распределения:
1) Значения функции распределения заключены между нулем и единицей: .
2) F(x) — неубывающая функция, т.е. при будет .
3) Если все возможные значения случайной величины принадлежат некоторому интервалу, т.е. XI(a; b), то F(x)=0 при xb.
С помощью функции распределения можно вычислить, например, вероятность того, что в результате измерения случайная величина примет значение внутри заданного интервала (a; b) по формуле:
. (3.2)
Если Х – дискретная случайная величина, то вычисление вероятности попадания ее значения в заданный интервал (a;b) удобнее производить не по формуле (3.2), а с помощью имеющейся в Excel статистической функции ВЕРОЯТНОСТЬ(Х; Р; a; b), где Х – диапазон ячеек, содержащих возможные значения дискретной случайной величины: х1, х2,…хn; Р – диапазон ячеек, содержащих их вероятности р1, р2,…рn; a – нижняя граница заданного интервала; b – его верхняя граница.
Плотность распределения.
Непрерывную случайную величину можно описать с помощью понятия плотности распределения вероятностей. Поскольку значения непрерывной случайной величины образуют бесконечное множество, то ее принято характеризовать не вероятностями отдельных значений, а вероятностью того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале между двумя заданными числами x0 и x, т.е. вероятностью выполнения неравенства x0?X
,
то функцию f(x) называют плотностью распределения вероятностей или просто плотностью распределения.
Можно показать, что плотность распределения равна производной от функции распределения:
. (3.3)
Из (3.3) следует, что зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:
. (3.4)
Основные свойства плотности распределения вероятностей:
1) Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x)³0.
2) Плотность распределения удовлетворяет условию нормировки:
.
§3.2. Нормальное распределение
