Выделение слабо эффективных и эффективных решений
Методом сверток на основе идеальной точки
1. Знакомство с методом выделения слабо эффективных и эффективных решений задачи многокритериальной оптимизации методом сверток на основе идеальной точки.
2. Приобретение навыков использования стандартных средств системы Matlab для выделения слабо эффективных и эффективных решений задачи многокритериальной оптимизации и аппроксимации множества эффективных точек.
Продолжительность работы: 2 часа
Оборудование, приборы, инструментарий – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MatLab.
Порядок выполнения
1. Упражнения выполняются параллельно с изучением соответствующих разделов теории.
2. После выполнения каждого упражнения результаты следует заносить в отчёт.
3. Дома доделать упражнения из раздела «Краткие теоретические сведения и практические упражнения», которые Вы не успели выполнить на занятии.
4. Подготовить отчет, в который включить решение всех упражнений. Отчет должен удовлетворять следующим общим требованиям:
а) отчет должен быть представлен в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): p_51m_Oleynik_T_07_1 (факультет_ группа_ Фамилия студента (латиницей)_ Инициал (латиницей)_номер лабораторной, семестр).
б) отчет должен содержать комментарии к каждому выполненному упражнению, в том числе: № упражнения; его условие; математическую модель задачи; команды, скопированные из командного окна; результаты их выполнения; тексты скриптов и М-функций; выводы.
Краткие теоретические сведения
И практические упражнения
Получение эффективных решений методом сверток на основе идеальной точки.
Рассмотрим задачу двухкритериальной оптимизации:
, , | (1) |
Нам бы хотелось найти такую точку на множестве , в которой функции , одновременно принимали бы наибольшее значение. Однако мы уже имели возможность убедиться, что в большинстве случаев эта задача неразрешима. В то же время ничто не мешает нам рассмотреть максимальные значения частных критериев независимо друг от друга.
Назовем идеальной точкой такой вектор , компоненты которого , являются максимумами частных критериев и на , т.е. ,
Рассмотрим задачу поиска допустимого решения , образ которого наиболее близок в смысле какого-либо расстояния к идеальной точке:
, | (2) |
, где — некоторая метрика в . |
Функцию называют сверткой на основе идеальной точки.
При построении свертки на основе идеальной точки для измерения расстояния в критериальном пространстве используется одна из следующих метрик:
а) метрика Архимеда или ее взвешенный вариант , ;
б) метрика Евклида или ее взвешенный вариант , ;
в) метрика Чебышева или ее взвешенный вариант , .
Соответствующие эти метрикам свертки будем называть архимедовой, евклидовой и чебышевской сверткой.
Можно показать, что решение задачи (2) при любой из рассмотренных взвешенных метрик является слабо эффективным решением, а при единственности этого решения – эффективным решением.
В то же время, не всякая точка множества (или ) может быть найдена на основе максимизации взвешенных сверток при конечных весах .