Абсолютные показатели вариации
К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Размах вариации – показатель, определяющий насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими наибольшее и наименьшее значение признака. Зависимость для его расчета имеет вид
,
где xmax; xmin — наибольшее (наименьшее ) значение признака в совокупности
Основным недостатком показателя является то, что он не отражает отклонений всех значений признака.
Среднее линейное отклонение — показатель, отражающий на сколько в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины и представляет собой обобщенную характеристику степени колеблемости признаков совокупности.
A) простое среднее линейное отклонение для не сгруппированных данных
, ( )
где n – число наблюдений признака.
Б) взвешенное среднее линейное отклонение для интервального вариационного ряда
. ( )
При расчете показателя среднего линейного отклонения приходится иметь дело с модулями алгебраических выражений, что при упрощенных конечных выражениях может приводить к ошибкам и неточностям.
Более удобно использовать показатели вариации, найденные с использованием вторых степеней отклонений.
Полученная при этом мера вариации называется дисперсией ( ), а корень квадратный из дисперсии – средним квадратическим отклонением ( ).
Дисперсия- средняя величина квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.
Рабочие зависимости для расчета дисперсии имеют вид:
А) простая дисперсия для не сгруппированных данных
, ( )
Б) взвешенная дисперсия для интервального вариационного ряда
. ( )
Среднеквадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.
А) Простое среднеквадратическое отклонение для не сгруппированных данных
. ( )
Б) Взвешенное среднеквадратическое отклонение для интервального вариационного ряда
. ( )
Среднеквадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и значение признака.
Дисперсии обладают следующими свойствами.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не изменяет величины дисперсии.
3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k2 раз, а среднеквадратическое отклонение – в k раз:
Следует помнить!В условиях нормального закона распределения случайной величины существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений.
- В пределах +- 1s располагается 0,683, или 68,3% количества наблюдений;
- В пределах +- 2s — 0,954, или 95,4 %;
- В пределах +- 3s — 0,997, или 99,7 % количества наблюдений.
На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают интервал +-3s. Отклонение в 3s считается максимально возможным. Это положение называется правилом трех сигм.
Различают дисперсию общую, внутригрупповую и межгрупповую.
Общая дисперсия ( ) — величина, определяющая вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Зависимости для определения общей дисперсии приведены ранее.
Внутригрупповая (частная) дисперсия (si ) – дисперсия, вычисленная для каждой группы совокупности, определяющая рассеивание признака в каждой группе. Зависимость для ее расчета имеет вид:
а) невзвешенная
( )
б) взвешенная для интервального вариационного ряда
, ( )
где — частные средние i – х групп;
Si — означает, суммирование по каждой i –ой группе.
ni — объемы i – х групп.
Средняя из внутригрупповых дисперсий имеет вид
. , ( )
Межгрупповая дисперсия ( ) – величина определяющая колеблемость частных ( групповых) средних ( ) вокруг общей средней ( ). Зависимость для ее расчета имеет вид
, ( )
где xi , ni — соответственно групповые средние и численности по отдельным группам .
Существует закон, связывающий три вида дисперсий
( )
Данное соотношение называется правилом сложения дисперсий.
Основываясь на этом правиле, зная любые два вида дисперсий , можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.
В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей. Он называется эмпирический коэффициент детерминации (h2):
. ( )
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением
. ( )
Это отношение показывает влияние признака, положенного в основу группировки, на вариацию результативного признака.
h изменяется в пределах от 0 до 1. При 0 — группировочный признак не оказывает влияния на результативный . При 1 — результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основу группировки, а влияние всех прочих признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от близости их к предельным значения.
2 Относительные показатели вариации
Эти показатели используются для сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности, либо при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях.
К относительным показателям вариации относятся
Коэффициент осцилляции
. ( )
