1) Из точки S вне плоскости проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС
Дано :
— наклонные
Доказать : О – центр окружности
Доказательство
1) , строим
2) Рассмотрим , так как — общий катет, — по условию — по катету и гипотенузе. Значит, , то есть т. О – равноудалена от вершин — центр окружности, описанной около .
2) К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найти расстояние от концов этого перпендикуляра до сторон треугольника
Дано :
, м
Окр ( м)
Найти :
Решение
1) Построим радиусы вписанной в треугольник АВС м;
, , по теореме о 3-х перпендикулярах
Рассмотрим плоские треугольники в соответствующих плоскостях (по двум катетам – катет DO –общий а остальные – радиусы вписанной окружности), откуда
: м. Ответ : 2,5 м.
Вывод :
Пусть — произвольный
1) , если
О – точка пересечения биссектрис – центр вписанной и описанной окружностей
, где — расстояние до вершины треугольника АВС
— радиус описанной окружности
2) , где — расстояние до стороны треугольника АВС — радиус вписанной окружности
1) Если расстояния от вершины до вершин равны, то , радиус описанной около треугольника АВС окружности, где
2) Если расстояние от точки до сторон равны, то радиус вписанной в треугольник АВС окружности, где
3) Расстояния от точки S до всех сторон квадрата равны а. Найти расстояние от точки S до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.
Дано : — квадрат
Найти : .
Решение
1) — искомое расстояние
2) по теореме о трех перпендикулярах , — как проекции равных наклонных. О – центр окружности вписанной в квадрат 
(так как радиус вписанной в квадрат окружности рамен половине стороны квадрата)
АВ найдем из , ,
Из : 
Ответ: 
4) Через конец А отрезка АВ длиной b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая m. Найти расстояние от точки В до прямой m, если расстояние от точки А до прямой m равно а.
Дано :
,
,
Найти : ВС
Решение:
Так как , то , по теореме о 3 перпендикулярах ВС – расстояние от точки В до прямой с. Построим плоскость (АВС ), где — плоский, прямоугольный по условию, следовательно, согласно теореме Пифагора: Ответ:
5) Расстояние от точки А до вершин квадрата равны а. Найти расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b ( аналогично задаче 4)
Краткий анализ решения задачи:
найдем из
, так как (по катету и гипотенузе)
; 
— ответ
Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВС на прямую пересечения этих плоскостей. Найти длину отрезка АВ, если , ,
Дано :
, ,
,
, ,
Найти :
Решение
= m, строим и — перпендикуляры к прямой m
Рассмотрим плоские треугольники в соответствующих плоскостях: , , , — по построению
по теореме о 3-х перпендикулярах ,
Если , , , то по теореме Пифагора из ,
из ;
Ответ :
6) Перпендикулярные плоскости по прямой с. В плоскости a проведена прямая , а в плоскости b — прямая . Найти расстояние между прямыми и , если расстояние между прямыми и с равно 1,5 м, а между и с равно 0.8 м
Пусть , , , , и м, м Найти нужно
По признаку параллельности прямых так как и , то , где
: и .
По теореме о трех перпендикулярах 
— искомое расстояние
м
Ответ : 1,7 м.
