Типовые примеры заданий.

  1. Найдите и изобразите в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости функции . Выпуклы ли построенные области?
  1. Приведите к стандартному виду задачу нелинейного программирования, заданную моделью:

Типовые примеры заданий.

Изобразите область допустимых решений и линии уровня целевой функции; решите задачу графическим методом. Проверьте, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения. Пользуясь рисунком, проверьте выполнение условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества и в точках касания линии уровня целевой функции с границами допустимого множества. Найдите точки, в которых условия Куна-Таккера выполняются, и определите, какие из ограничений являются активными в таких точках. Выпишите условия Куна-Таккера в найденных точках и рассчитайте значения двойственных переменных. Сделайте обоснованный вывод о наличии или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.

  1. Фабрика по производству мороженного может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используются два вида сырья: молоко и наполнители, запасы которых известны. Известны также удельные затраты сырья и цены на единицу продукции каждого сорта. Постройте план производства, обеспечивающий максимум дохода от продаж готовой продукции.
  1. Подготовлено несколько вариантов стратегий управления фирмой. По каждой стратегии оценен объем прибыли для различных прогнозов будущей ситуации, причем не известно, какой из этих прогнозов реализуется. Вероятности реализации прогнозов также неизвестны. Величины прибыли при из прогнозов приведены в таблице. Найдите наилучшие стратегии по критериям максимакса, Байеса-Лапласа, Сэвиджа, Гурвица, а также наилучшую гарантирующую стратегию и максимальную гарантированную оценку прибыли.
  1. Рассмотрите задачу целевого программирования, в которой множество допустимых решений задается неравенствами , критерии заданы соотношениями , а целевая точка совпадает с идеальной точкой , отклонение от которой задается функцией . Найдите и изобразите множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку . Изобразите линии уровня функции . Решите графически задачу нахождения достижимой точки , дающей минимум отклонения от идеальной точки; запишите аналитически задачу минимизации отклонения от идеальной точки в виде задачи линейного программирования.
  1. Рассмотрите задачу двухкритериальной максимизации:

Типовые примеры заданий.

Найдите Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев:

.

Проверьте, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого программирования. Проверьте возможность использования условий Куна-Таккера в данной задаче. Выпишите и проверьте выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений. Найдите решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выпишите функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера через функцию Лагранжа; проверьте выполнение условий Куна-Таккера в найденном решении.

  1. Фирма принимает решение о стратегии замены оборудования. Считается, что замена может осуществляться в начале любого года (практически моментально), причем частичная замена оборудования невозможна. Стоимость приобретения нового оборудования и замены старого оборудования на новое составляет 6 млн. рублей. После замены старое оборудование, эксплуатировавшееся до этого t лет, , реализуется по цене, которая определяется формулой R(t) = 0,2(10 ?t) млн. рублей. Известно, что прибыль от реализации продукции, произведенной за год, определяется формулой F(t) = 5 ? t млн. рублей. Планирование производится на 7 лет. Определите оптимальную стратегию замены оборудования при условии, что в начальный момент времени имеется оборудование, прослужившее 1 год.
  1. Динамика фирмы описывается моделью:

где – номер года; стоимость основных фондов к началу периода ; суммарные дивиденды с момента 0 до начала периода ; доля дивидендов в период в прибыли фирмы, которая считается равной , причем заданный постоянный параметр.

Величина является управлением в модели, причем .

Пользуясь методом динамического программирования, постройте оптимальное управление, максимизирующее суммарные дивиденды за весь период времени [0, T], т.е. величину . Считать, что .

ЧТО ТАКОЕ ПАРАМЕТР. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ. Подготовка к ЕГЭ 2016 с Артуром Шарифовым


Похожие статьи.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: