ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (СС).
- УНАРНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
- НЕПОЗИЦИОННЫЕ СС:
- ЕГИПЕТСКАЯ СС.
- ДРЕВНЕГРЕЧЕСКАЯ СС.
- СЛАВЯНСКАЯ КИРИЛЛИЧЕСКАЯ СС.
- РИМСКАЯ (ЛАТИНСКАЯ) СС.
- ПОЗИЦИОННЫЕ СС:
- ДЕСЯТИЧНАЯ СС.
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ В ДЕСЯТИЧНОЙ СС.
- ДВОИЧНАЯ СС.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В 2-ЧНОЙ СС.
- ЧЕТВЕРИЧНАЯ СС.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В 4-ЧНОЙ СС.
- ВОСЬМЕРИЧНАЯ СС.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В 8-ЧНОЙ СС.
- ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СС.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В 16-ЧНОЙ СС.
- ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СС В ДРУГУЮ:
- ИЗ ЛЮБОЙ ДРУГОЙ В 10-ЧНУЮ:
- 10==2 (1 СПОСОБ).
- 10==2 (2СПОСОБ).
- 10==4
- 10==8
- 2==10
- 2==8
- 8==2
- 2==16
- 16==2
- 2==4, 3==9
- ЦЕПОЧКИ ПЕРЕВОДА
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (СС).
Система счисления– это способ записи чисел с помощью определенных специальных знаков (цифр) и соответствующие ему правиладействий над числами.
Запись числа в определенной системе счисления называется кодом.
Разряд — номер позиции цифры в записи числа. В целых числах номер разряда считается справа налево, начиная с нуля (Разряд единиц в этом случае нулевой. Разряд десятков – первый. Сейчас это нужно просто запомнить. Зачем это нужно – разберемся чуть позже).
В случае с дробями, разряды дробной части нумеруются отрицательными числами. Мы как бы продолжаем считать разряды, но в обратную сторону:
Число разрядов, совпадающее с длиной числа в символах – разрядностью.
СС подразделяются на:
- унарные
- непозиционные(аддитивные)
- позиционные(мультипликативные)
УНАРНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
Это, пожалуй, самые древние и самые простые СС. Некоторые племена аборигенов, не имеющие письменности, пользуются ими и сейчас. Число в унарной СС образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.
Например:
•зарубки
•камни
•палочки
(на рисунке изображено так называемое кипу, которое инки и их предшественники, живущие в Андах использовали при счете.)
НЕПОЗИЦИОННЫЕ СС.
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления
в числе XXXII(тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.
- ЕГИПЕТСКАЯ СС.
Это непозиционная система счисления, которая употреблялась в Древнем Египте вплоть до начала X века н.э.
В этой системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.
- ДРЕВНЕГРЕЧЕСКАЯ СС.
У древних греков были две системы обозначения чисел. По более старой из них числа от 1 до 4 обозначались с помощью вертикальных черточек ,
а для числа 5применялась буква Г — первая буква греческого слова пента, то есть пять.
Далее использовались буквы для числа 10,
H — 100,
X — 1000,
M — 10000
(с них начинались греческие слова дека — десять, гекатон — сто, хилиас — тысяча, мюриас — десять тысяч).
ЧТак, например, число 6 греки обозначали Г , а число 20 — и так далее.
Но эта система уступила место иной, в которой числа обозначали буквами с черточками над ними. Самым большим числом, имевшим отдельное название, было в Греции 10000. Его обозначали буквой М.
Наибольшим числом, которое умели обозначать греки, было число 99 999 999.
Возможность составлять из букв и слова, и числа положила начало занятию, которым с увлечением занимались многие в Греции и странах Востока. Буквы какого-нибудь слова заменяли их числовыми значениями и полученные числа складывали. А в Древней Греции некоторые поэты писали стихи, в которых не было рифмы, зато сумма чисел, заменявших буквы каждой строки, была одной и той же для всех строк.
(древнегреческая буквенная нумерация)
СЛАВЯНСКАЯ КИРИЛЛИЧЕСКАЯ СС.
Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.
До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.
Записывались цифры числа начиная с бОльших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка:
Читаем дословно четырнадцать — четыре на десять.
Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, — четыре на десять.
И так для всех чисел от 11 до 19.
Таким образом у славян мы прослеживаем десятеричную систему счисления.
Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:
= 800+60+3
Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла — горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.
Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные:
Тысяща — 1 000,
Леон — 10 000,
Одр — 100 000,
Вран (ворон) — 1 000 000,
Колода — 10 000 000,
Тьма — 100 000 000.
- РИМСКАЯ (ЛАТИНСКАЯ) СС.
В качестве цифр в римской системе используются:
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
- Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит VсемIх.
- MыDаемCоветыLишьXорошоVоспитаннымIндивидумам
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения, «группа первого вида»), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания, «группа второго вида»).
Например,I, Х, Сставятся соответственно передХ, С, Мдля обозначения9, 90, 900,и перед V, L, Dдля обозначения4, 40, 400.
Например,VI = 5+1 = 6,IV = 5 — 1 = 4 (вместоIIII).
XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.
Ученые спорят о том, является ли число 3999 (MMMCMXCIX) максимальным числом римской СС. По одной версии — да. Это объясняется следующим правилом:
«Нельзя употреблять символы M, C, X, I более трех раз подряд, а символы D, L, V – более одного раза подряд».
Другая версия состоит в том, что буквой M обозначали тысячу. И, следуя этому принципу, число 38784 можно изобразить вот так:
XXXVIIImDCCLXXXIV
Так, или иначе, мы видим, что:
- Запись в непозиционных системах счисления очень неудобна,
- Математические операции крайне сложны и громоздки
- Можно записать далеко не все числа (например, выразить нуль в непозиционной системе числения)
ПОЗИЦИОННЫЕ СС.
В позиционных системах счисления вес (значение) каждой цифры изменяется в зависимости от ее позициив последовательности цифр, изображающих число.
Любая позиционная система характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.
Примеры позиционной системы счисления — двоичная, десятичная, четверичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления и т. д. Это лишь наиболее используемые СС. Их мы и рассмотрим.
Давайте посмотрим, что свойственно позиционным СС, в отличие от непозиционных:
- Небольшое количество цифр применяется для записи больших чисел;
- Удобно производить арифметические операции.
- Можно записать любое число, включая 0.
Это означает, что позиционные системы являются наиболее удобными для записи чисел.
- ДЕСЯТИЧНАЯ СС.
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ В ДЕСЯТИЧНОЙ СС.
Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии, в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах, для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём.
В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.
В Европу они попали благодаря арабам, поэтому эти цифры на данный момент больше известны нам как арабские.
В десятеричной СС 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Как и в любой позиционной СС, каждая цифра принимает новое значение в зависимости от разряда, в котором она расположена.
Например:
33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Так, та же самая цифра 2 в числах 2, 321, 200, 6782400 принимает значение единицы, десятка, сотни,и тысячисоответственно.
Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней.
Например, 0— углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д.
Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.
Таблица сложения в десятичной системе:
Таблица умножения в десятичной системе:
- ДВОИЧНАЯ СС.
