Теорема кантора.
Т 15.1
Функция непрерывна на отрезке [a, b] равномерно непрерывна на нём.
Доказательство:
Вследствие непрерывности функции f в по заданному
 |
Заметим, что, еслиточка х’’ ещё одна очка 
.(15.4)
Наряду с (x) рассмотрим 
.Семейство таких интервалов покрывает отрезок [a, b]
x-  |
| x+ |
По лемме Гейле-Бореля из этого семейства можно выбрать конечное число интервалов также покрывающих отрезок [a, b].
 |
Поэтому на основании 15.4 .
Теорема доказана.
Теорема Вейерштрасса о непрерывности функций.
Следующая теорема верна в приложениях
Т 16.1
непрерывна на отрезке [a, b], имеет на этом отрезке минимальное и максимальное значение.
Доказательство:
Докажем, что функция fограничена на отрезке [a, b]. По теореме Кантора функция непрерывно равномерна на [a, b]. По числу найдется число , такое, что, для любых точек
.
Разделим отрезок[a, b] точками
на конечное число отрезков, каждый из которых имеет длину .
 |
Выберем произвольную точку пусть она попала в выбранной отрезок .
Далее имеем:
Отсюда получается оценка: с правой частью независимой от x . Тем самым ограниченность функции на отрезке доказана.
Пусть теперь .
Тогда
, при чем m и M – конечны.(16.1)
Покажем, что значение mдостигается функцией f в некоторой точке отрезка [a, b]. Предполагая от противного, будем иметь на отрезке [a, b] строгое неравенство:
Но тогда получается, что на отрезке [a, b] непрерывна функция 
, но тогда на основании первой части доказательства функция ограничена на отрезке [a, b] в частности существует:
но тогда получается неравенство 
.
Но это противоречит определению числа m. Противоречие означает, что в некоторой точке для которой выполнено равенство: .
В силу неравенства 16.1 m — минимальное значение на отрезке [a, b]. Аналогично заказывается что в некоторой точке
Но тогда в силу 16.1M -максимальное значение.
Теорема доказана.
Замечание: как показывает пример функции:
Для существования экстремальных(максимального, минимального) значение, определенных на отрезке, условия непрерывности необходимо.
Но даже непрерывности функции оказывается недостаточно, если вместо отрезка взять интервал или полуинтервал. Это видно на примере при 
.
Теорема Вейерштрасса о монотоннойфункции.
Вещественная функция называется возрастающей/убывающей на множестве Х, если выполняется следующее условие:
Если соответствующее неравенство между f(x), f(x’) – строгое неравенство, то говорят о непрерывном возрастании или убывании функции f(x)
Т. 12.2
Пусть монотонна на множестве X, имеет предельную точку A, достижимую слева (справа), тогда функция f в точке a имеет предел слева (справа) если функция f ограничена на множестве (ограниченное на ) при , то этот предел конечный, в противном случае – бесконечный.
Доказательство:
Для определения будем считать функцию fвозрастающей на множестве X, а точку а – достижимой слева. Прочие случаи рассматриваются аналогично.
Сначала рассмотрим ситуацию функции fограниченной на множестве при . В этом случае на множестве функция f ограничена величина
Докажем, что предел слева. Пусть задана , по свойству верхней границы слева. Тогда такая, что .
Рассмотрим проколотую окрестность
Ввидувозрастания функции fдля любого xиз получается: .
Следовательно, при
Но последнее и означает, что Aслужит пределом слева. Рассмотрим случай, когда функция не ограничена:
Рассмотрим проколотую окрестность , тогда в силу возрастания функции fдля
f(x) лежит в окрестности (E; +?).
Это означает, что f(x) при на множестве имеет предел +?в этом случае
Теорема доказана.
Замечание: из доказательства нетрудно усмотреть в каком случае соответственный односторонние пределы оказываются равными
Если справа функция возрастает, то предел равен
