Задача об остывании кофе

Дисциплина «Математическое моделирование»

Лабораторная работа

Рассматривается применение метода Эйлера для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка, на примере уравнения теплопроводности и уравнений движения Ньютона. Содержится теоретический материал, методы решения соответствующих задач, листинги программ, задачи и контрольные вопросы.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачи лабораторного практикума — познакомить студентов с различными методами математического моделирования (метод Эйлера, молекулярная динамика, Монте-Карло и т.д.), используя для этой цели простые, но реалистичные в научном плане задачи, а также научить на конкретных примерах методам структурного программирования.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Использование компьютеров

Говоря об использовании компьютеров, можно выделить четыре категории:

1. Численный анализ.

2. Аналитические (символьные) преобразования.

3. Моделирование.

4. Управление в реальном времени.

В численном анализевычислениям предшествует выяснение упрощающих физических принципов. Например, мы знаем, что решение многих физических задач может быть сведено к решению системы линейных уравнений или дифференциальным уравнениям, которые имеют аналитические решения.

Большое значение приобретают пакеты программ для аналитических преобразований. Например, мы хотим узнать решение квадратного уравнения ах2 + bх+ с = 0. Программа аналитических преобразований может выдать решение в виде формулы х = . Кроме того, такая программа может выдать решения в обычной числовой форме для конкретных значений а, в и с. С помощью типичной программы аналитических преобразований можно выполнять такие математические операции, как дифференцирование, интегрирование, решение уравнений и разложение в степенной ряд (Инженерные пакеты Matchad, Matlab, Octave, Maple, MS EXCEL).

Иногда численное моделирование называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет очень много общего с лабораторными экспериментами. Некоторые аналоги показаны в табл.1. Отправным пунктом численного моделирования является разработка идеализированной модели рассматриваемой системы. Затем необходимо определить процедуру или алгоритм для реализации модели на компьютере. Компьютерная программа моделирует систему и описывает вычислительный эксперимент. Такой вычислительный эксперимент служит мостом между лабораторными экспериментами и теоретическими расчетами.

Таблица 1

Аналогии между вычислительным и лабораторным экспериментами.

Лабораторный эксперимент Вычислительный эксперимент
Образец Математическая модель
Физический прибор Программа для компьютера
Калибровка Тестирование программы
Измерение Расчет
Анализ данных Анализ данных

Например, мы можем получить по существу точные результаты, моделируя идеализированную модель, у которой нет никакого лабораторного аналога. Сравнение результатов моделирования с соответствующими теоретическими расчетами служит стимулом развития вычислительных методов. С другой стороны, можно проводить моделирование на реалистичной модели с тем, чтобы осуществить более прямое сравнение с лабораторными экспериментами.

Численное моделирование, как и лабораторные эксперименты, не заменяет размышление. Но цель всех исследований фундаментальных явлений — поиск таких объяснений физических явлений, которые можно записать на обратной стороне конверта или которые можно представить на пальцах!

Важность графики

Известно, что визуальное представление сложных численных результатов имеет большую важность. Человеческий глаз вместе со способностью мозга к обработке изображений представляет собой очень сложное устройство для анализа видеоинформации. Большинство из нас могут очень быстро провести наилучшую прямую линию через последовательность экспериментальных точек. Наш глаз способен выделить структуры и тренды, быть может, сразу не заметные из таблиц данных, или обнаружить изменения во времени, которые могут привести к пониманию важных механизмов, лежащих в основе поведения системы.

Использование графических средств может улучшить наше понимание характера аналитических решений. Например, как вы представляете себе функцию синус? Вряд ли вы ответите, что это ряд, т.е. ; скорее вы скажете, что это график периодической функции постоянной амплитуды (рис.1.1).

Рис.1. График функции синус.

Здесь важно наглядное представление формы функции.

ЗАДАЧА ОБ ОСТЫВАНИИ КОФЕ

Рассматривается простой метод численного решения дифференциальных уравнений и приводятся основные понятия программирования и графических методов.

Основные понятия

Знакомство с численными методами неплохо начать с того, что расположиться подальше от компьютера и насладиться чашечкой горячего кофе (или чая). Однако, отхлебнув из чашечки кофе, мы по обыкновению обжигаемся, поскольку он очень горячий. Если нам не терпится, то можно добавить в кофе молока. Но если после этого кофе все еще горячий, ничего не остается делать, как подождать некоторое время, пока он остынет до нужной температуры. Если желательно, чтобы кофе остыл как можно быстрее, то что лучше — добавить молоко сразу после приготовления кофе или немного подождать, прежде чем добавлять молоко?

Природа переноса тепла от кофе к окружающему пространству сложна и в общем случае включает в себя механизмы конвекции, излучения, испарения и теплопроводности. В том случае, когда разность температур между объектом и окружающей средой не очень велика, скорость изменения температуры объекта можно считать пропорциональной этой разности температур. Это утверждение более строго можно сформулировать на языке дифференциального уравнения:

, (2.1)

где Т — температура тела, Тs — температура окружающей среды, а r — “коэффициент остывания”. Этот “коэффициент остывания зависит от механизма теплопередачи, площади тела, находящегося в контакте со средой и тепловых свойств самого тела. Знак минус появляется в (2.1) во избежание нефизического эффекта увеличения температуры тела, когда Т Тs. Соотношение (2.1) называется законом теплопроводности Ньютона. Попытайтесь проинтегрировать уравнение (2.1) и получить зависимость температуры от времени.

Уравнение (2.1) — пример дифференциального уравнения первого порядка. Множество процессов, происходящих в природе, описываются дифференциальными уравнениями, поэтому их важно уметь решать. Рассмотрим уравнение первого порядка вида

(2.2)

В общем случае аналитического решения уравнения (2.2), выраженного через хорошо известные функции, не существует. Кроме того, даже в том случае, когда аналитическое решение все же существует, необходимо представить решение в графическом виде, чтобы понять его характер.

Алгоритм Эйлера

Типичный метод численного решения дифференциальных уравнений включает в себя преобразование дифференциального уравнения в конечно-разностное. Проанализируем уравнение (2.2) Положим, что при х=х0 функция у принимает значение у0. Поскольку уравнение (2.2) описывает изменение функции у в точке х0, то можно найти приближенное значение функции у в ближайшей точке , если приращение аргумента мало. В первом приближении предполагается, что функция g(x), или скорость изменения у, постоянна на отрезке от х0 до х1. В этом случае приближенное значение функции в точке определяется выражением

(2.3)

Мы можем повторить эту процедуру еще раз и найти значение в точке

. (2.4)

Очевидным образом это правило можно обобщить и вычислить приближенное значение функции в любой точке по итерационной формуле

(2.5)

Данный метод называется методом касательных или методом Эйлера. Можно предположить, что метод будет давать хорошее приближение к «истинному» значению функции , если приращение аргумента достаточно мало. Степень «малости» определяется нашими требованиями и может не конкретизироваться до тех пор, пока метод не применяется при решении конкретных задач.

В методе Эйлера предполагается, что скорость изменения функции на отрезке от до постоянна, а наклон касательной вычисляется в начальной точке отрезка. Графическая интерпретация выражения (5) приведена на рис. 1. Понятно, что в случае, когда наклон касательной меняется на некотором отрезке, появляется отклонение от точного решения. Тем не менее, это отклонение можно уменьшить, если выбрать меньшее значение .

Рис. 2.1. Графическая интерпретация метода Эйлера. Наклон касательной вычисляется в начальной точке интервала. Приближению Эйлера и истинной функции соответствуют прямая и кривая линии.

Горячая и холодная вода — физические опыты


Похожие статьи.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: