Моделирование случайных процессов

Лабораторная работа №7

Моделирование случайных процессов Краткие сведения (моделирование случайных процессов)

К числу случайных процессов, изучаемых методом имитационного моделирования (методом Монте-Карло) относятся, в частности, процессы, связанные с формированием и обслуживанием очередей (так называемые процессы массового обслуживания). Простейшая задача данного класса такова. Имеется система массового обслуживания с одним узлом обслуживания (магазин с одним продавцом, ремонтная зона в автохозяйстве, травмопункт с одним врачом, телефонная станция с одним входом, сервер с одним входным каналом и т.д.). К услугам системы клиенты прибегают случайным образом (с заданной функцией распределения отрезков времени между приходами). Если система свободна, то начинает обслуживать клиента сразу, иначе ставит его в очередь. Длительность обслуживания каждого клиента — случайная величина с известным законом распределения.

В ходе решения данной задачи требуется дать ответ на вопросы типа: какова функция распределения вероятностей времени ожидания клиента в очереди? Времени простоя системы в ожидании клиентов? Если сами эти функции определять сложно, то каковы их наиболее важные характеристики (т.е. математическое ожидание, дисперсия и т.д.)?

Основа этой задачи ¾ случайный процесс прихода клиентов в систему обслуживания. Промежутки между приходами любой последовательной пары клиентов ¾ независимые случайные события, распределенные по некоторому закону. Реальный характер этого закона может быть установлен лишь путем многочисленных наблюдений; в качестве простейшей модельной функции плотности вероятности можно взять равновероятное распределение в диапазоне времени от 0 до некоторого T ¾ максимально возможного промежутка между приходами двух последовательных покупателей. При этом распределении вероятность того, что между приходами двух покупателей пройдет 1 минута, 3 минуты или 8 минут одинакова (если T 8 мин).

Такое распределение, конечно, малореалистично; реально для большинства процессов массового обслуживания функция распределения растет от t = 0, имеет при некотором значении t = t максимум и быстро спадает при больших t, т.е. имеет вид, изображенный на рисунке 7.6.

f(t)

Моделирование случайных процессов

t t

Рис. 7.6. Схематическое изображение плотности вероятности распределения времени между появлениями клиентов в системе массового обслуживания

Можно, конечно, подобрать немало элементарных функций, имеющих качественно такой вид. В теории массового обслуживания широко используется семейство функций Пуассона

(7.35)

где l ¾ некоторая константа, n ¾ произвольное целое. Функции (9.46) имеют максимум при t = n/l и нормированы.

Второй случайный процесс в этой задаче, никак не связанный с первым, определяется последовательностью случайных событий ¾ длительностей обслуживания каждого из покупателей. Распределение вероятностей длительности обслуживания имеет тот же качественный вид, что и в предыдущем случае.

Для примера в таблице в колонке A записаны случайные числа ¾ промежутки между приходами клиентов (в минутах), в колонке B ¾ случайные числа ¾ длительности обслуживания (в минутах). Для определенности взято amax = 10 и bmax = 5. Из этой короткой таблицы, разумеется, невозможно установить, каковы законы распределения приняты для величин A и B. Остальные колонки предусмотрены для удобства анализа; входящие в них числа находятся путем элементарного расчета. В колонке C представлено условное время прихода клиента, D ¾ момент начала обслуживания, E ¾ конца обслуживания, F ¾ длительность времени, проведенного клиентом в системе в целом, G ¾ в очереди в ожидании обслуживания, H ¾ время, проведенное системой в ожидании клиентов (если их нет). Таблицу удобно заполнять по горизонтали, переходя от строчки к строчке. Приведем для удобства соответствующие формулы (в них i = 1, 2, 3, . . .):

c1 = 0, ci+1 = ci + ai+1, d1 = 0, di+1 = max(ci+1, ei) (7.36а)

¾ так как начало обслуживания очередного клиента определяется либо временем его прихода, если система не занята, либо временем ухода предыдущего клиента;

(7.36б)

Таким образом, при данных случайных наборах чисел в колонках A и B, и клиентам приходилось стоять в очереди (колонка G), и системе простаивать в ожидании клиента (колонка H).

№ п/п A B C D E F G H

Какие вопросы возникают в первую очередь при моделировании систем такого вида? Во-первых, какое среднее время приходится стоять в очереди? Ответить на него кажется несложно: найти

Моделирование случайных процессов (7.37)

в некоторой серии испытаний. Аналогично можно найти среднее значение величины h. Труднее ответить на вопрос о достоверности полученных результатов; для этого надо провести несколько серий испытаний и использовать стандартные методы математической статистики (часто уместна обработка с помощью распределения Стъюдента).

Более сложный вопрос ¾ каково распределение случайных величин G и H при заданных распределениях случайных величин A и B? Качественный ответ на него можно попытаться получить построив соответствующие гистограммы по результатам моделирования. Затем делается некоторая гипотеза о виде распределения и используются один или несколько статистических критериев проверки достоверности этой гипотезы.

Располагая функцией распределения (пусть даже эмпирической, но достаточно надежной), можно ответить на любой вопрос о характере процесса ожидания в очереди. Например: какова вероятность прождать дольше m минут? Ответ будет получен, если найти отношение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения, прямыми x=m и y=0, к площади всей фигуры.

Моделирование случайных процессов Контрольные вопросы (моделирование случайных процессов)

1. Что такое «случайный процесс»?

2. Каковы принципы компьютерного генерирования равномерно распределенных случайных чисел?

3. Как можно получить последовательность случайных чисел с пуассоновским законом распределения?

4. Что такое «система массового обслуживания»? Приведите примеры.

5. В чем заключается метод Монте-Карло вычисления площадей плоских фигур? Объемов тел?

6. Какие примеры случайных процессов Вы можете привести?

Моделирование случайных процессов Темы для рефератов (моделирование случайных процессов)

1. Принципы компьютерной генерации последовательностей случайных чисел и статистические критерии определения свойств последовательностей.

2. Методы статистической обработки результатов, полученных при компьютерном моделировании случайных процессов.

Моделирование случайных процессов Темы семинарских занятий (моделирование случайных процессов)

1. Получение последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения.

Моделирование случайных процессов Лабораторная работа (моделирование случайных процессов)

Общие рекомендации

1. При выполнении данной работы необходима генерация длинных последовательностей псевдослучайных чисел с заданным законом распределения вероятностей. Ее можно основывать на стандартном датчике равномерно распределенных случайных чисел, встроенном в применяемую систему программирования, с использованием одной из процедур пересчета данной последовательности в последовательность с нужным законом распределения (например, процедуру «отбор-отказ»).

2. Одна из центральных задач при моделировании случайных процессов — нахождение характеристик случайных величин, являющихся объектом моделирования. Главная такая характеристика — функция распределения. Ее вид можно качественно оценить по гистограмме, построенной в ходе моделирования, а гипотезу о функциональной форме проверить с помощью одного из стандартных критериев, используемых в математической статистике (например, критерия c2). Однако это не всегда целесообразно, особенно если в задаче требуется определить лишь некоторые характеристики случайной величины — чаще всего среднее значение и дисперсию. Их можно найти без моделирования самой функции распределения. При этом статистическая оценка достоверности результатов является обязательной.

3. Результаты моделирования уместно выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы значений рассчитываемой величины (как правило, в нескольких выборках), гистограмм распределения случайных величин, построенных в ходе моделирования.

4. Целесообразно там, где это возможно, сопровождать имитационное моделирование визуальным отображением соответствующего процесса на экране компьютера (процесс формирования очереди, рождение и исчезновение объектов в задачах моделирования популяций и т.д.).

Моделирование случайных процессов и явлений. Лекция 5


Похожие статьи.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: