Существуют различные методы решения дифференциальных уравнений. В некоторых частных случаях решение удается получить аналитически (выразить через элементарные функции), но чаще всего приходится использовать численные методы и компьютерные расчеты.
Будем исходить из того, что уже разработана компьютерная программа, которая с высокой точностью находит решение уравнения Лапласа , удовлетворяющее заданным граничным условиям на поверхности тел, входящих в систему. Такое решение будет совпадать с экспериментом, если все проводники являются однородными, неподвижными и в поле отсутствуют диэлектрики. Поэтому к результатам таких компьютерных расчетов можно относиться как к компьютерному эксперименту, моделирующему эксперимент реальный. Наша задача состоит в выполнении компьютерного эксперимента и в анализе получаемых результатов.
Работа с компьютерными программами обычно включает два этапа. Во-первых, необходимо убедиться в правильности работы программы. Для этого программу испытывают на частных задачах и в специальных случаях, когда решение точно (или приближенно) известно. Компьютерный эксперимент должен подтверждать известные закономерности, а также показывать отклонение от теоретических результатов, полученных в рамках некоторых предположений, нарушающихся в компьютерном эксперименте.
Например, потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля, созданного точечным диполем в точке, положение которой задано радиус-вектором (рис.5), определяются формулами
, (5)
. (6)
где электрический момент диполя (дипольный момент), – вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному, — угол между векторами и . Формулы (5), (6) получены для точечного диполя, когда длина пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения ( ). Поэтому при нарушении условия должны наблюдаться отклонения расчетов по формулам (5), (6) от результатов компьютерного эксперимента. Причем эти отклонения должны уменьшаться с увеличением .
После испытания компьютерной программы можно приступить к поиску новых закономерностей. Вам будет предложено исследовать распределение заряда по поверхности заряженного проводящего эллипсоида, а также по поверхности проводящей сферы, расположенной в поле точечного заряда. Эти задачи являются для Вас новыми в том смысле, что их не удается решить, напрямую воспользовавшись формулой (1) и принципом суперпозиции.
Для экспериментального определения плотности поверхностного заряда следует воспользоваться результатом, вытекающим из теоремы Гаусса: во внешнем пространстве вблизи поверхности проводника поле перпендикулярно к поверхности проводника и определяется формулой
, (7)
где — единичный вектор нормали, проведенный наружу от поверхности проводника, — поверхностная плотность заряда в данной точке поверхности.
